第18课 三角形与多边形¶
知识点¶
知识点1 三角形的边角关系¶
- 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
- 三角形内角和等于180°，外角和等于360°
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
知识点2 三角形的主要线段¶
- 三角形的角平分线，中线，高
- 三角形的中位线：三角形的中位线平行与第三边并且等于第三边的一半
知识点3 三角形的四心¶
| 心 | 定义 | 性质 | 位置 |
|---|---|---|---|
| 内心 | 三条角平分线的交点 | 到三条边的距离相等 是内切圆的圆形 |
在三角形的内部 |
| 外心 | 三边垂直平分线的交点 | 到三个顶点的距离相等 是外接圆的圆形 |
锐角三角形:在内部 直角三角形:斜边的中点 钝角三角形:在外部 |
| 重心 | 三条中线的交点 | 把每条中线分成2：1 | 在三角形内部 |
| 垂心 | 三条高的交点 | 锐角三角形:在内部 直角三角形:直角顶点 钝角三角形:在外部 |
一些推论
| 推论 | 具体 | 应用场景 |
|---|---|---|
| 内心等距性质 | 角平分线上的点到角两边的距离相等。 | 到角两边距离相等的点在角平分线上。 证明某点是内心、与内切圆有关的问题。 |
| 外心等距性质 | 外心到三角形三个顶点的距离相等。 | 证明三点共圆； 求外接圆半径； 直角三角形中“斜边中点到三顶点距离相等”。 |
| 重心 2:1 | 三角形的重心把每条中线分成 2:1 | 长度计算、比例问题、坐标题。 |
| 直角三角形的特殊结论 | 外心在斜边中点；垂心在直角顶点；斜边中点到三个顶点距离相等。 | |
| 四线必交于一点 | 判断交点、证明共点。 | |
| 内心与三角形面积 | \(S=\frac{1}{2}rP(S为三角形面积，r为内切圆半径，p为三角形周长)\) |
考场速记口诀
外心找边圆在外内心分角圆在内重心中线二比一垂心三高要注意
知识点4 多边形的内角和公式，外角和¶
- 多边形的内角和为\(180^\circ\cdot(n-2)(n为大于2的整数)\)
- 任意多边形的外角和等于360°，正n边形的每个外角为\(\frac{360^\circ}{n}.\)
知识点5 正多边形的镶嵌¶
- 平面镶嵌的添加：在每个拼接点处，各多边形的内角之和为360°，且边长相等
- 用单一的正多边形铺地板是，只有等边三角形，正方形和正六变形可以镶嵌地板
考点¶
考点1 等腰三角形的边与角¶
考点2 三角形的边与角¶
考点3 多边形的内角与外角¶
考点4 三角形的中线与中位线¶
考题¶
