第6课 一元二次方程的解法及应用

知识点

知识点1 一元二次方程

1. 定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程
2. 判断一个方程是否一元二次方程： 1. 判断方程是否整式方程 2. 化简后判断只含一个未知数，未知数最高次数是2
3. 一元二次方程的一般形式：\(ax^2+bx+c=0(a \neq 0)\) 其中\(ax^2\)是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数

知识点2 一元二次方程的解法

1. 降次思路：解一元二次方程的基本思路是通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程求解。
2. 解法： 1. 直接开平方法 2. 因式分解法 3. 配方法 4. 公式法
3. 推荐顺序: 直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法。
4. 一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的求根公式： \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac \geq 0)\)

知识点3 一元二次方程的判别式:\(\Delta=b^2-4ac\)

1. \(\Delta > 0 \Leftrightarrow\) 方程有两个不相等的实数根
2. \(\Delta = 0 \Leftrightarrow\) 方程有两个相等的实数根
3. \(\Delta < 0 \Leftrightarrow\) 方程无实数根
4. \(\Delta \geq 0 \Leftrightarrow\) 方程有实数根

知识点4 韦达定理

1. 若\(x_1,x_2\)是关于x的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a \neq 0)\)的根,则 \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}\).注意：韦达定理适用条件\(\Delta \geq 0.\)
2. 推论： 1. 若方程\(x^2+px+q=0\)的两个根是\(x_1,x_2\),那么\(x_1+x_2=-p,x_1x_2=q\) 2. 以两个数\(x_1,x_2\)为根的一元二次方程(二次项系数为1)是\(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.\)

1. 一些常用的代数式 1. \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\); 2. \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\); 3. \((x_1+a)(x_2+a)=x_1x_2+(x_1+x_2)a+a^2\); 4. \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\); 5. \(\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\); 6. \(|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}\)

知识点5 一元二次方程的应用 常考类型及公式：

1. 面积问题： \(S_{矩形}=长 \times 宽 ，S_\triangle=\frac{1}{2} \times 底 \times 高\)
2. 增长率问题：\(原量 \times (1+x)^n=新量\)
3. 互赠、握手问题： 1. x人互赠总数量:\(x(x-1)\) 2. x人两两握手总次数:\(\frac{1}{2}x(x-1)\)
4. 营销问题：\(总利润=单位利润 \times 销售量\)

考点

考点1 解一元二次方程

考点2 一元二次方程的应用（增长率问题，面积问题，销售问题，互赠握手问题）

考点3 韦达定理与根的判别式

考题